Expediciones por el ajedrez
Por el profesor Christian Hesse
En último término,
el ajedrez es solo ajedrez: no es lo mejor del mundo ni lo peor del mundo,
pero no hay nada igual. – W.C. Fields
Una paradoja matemática del tablero de ajedrez
El Ministerio Federal de Investigación y Ciencia proclamó 2008 como “Año de
las Matemáticas”. Además, en 2008 se disputaron un Campeonato del Mundo de
Ajedrez y una Olimpiada de Ajedrez, así que también se podría pensar en 2008
como el
“Año del Ajedrez”. Eso facilita razones más que suficientes para mirar un
interesante problema en la interfaz de esas dos actividades intelectuales: matemáticas
y ajedrez. Es una paradoja fascinante que parece demostrar que 64 es igual a 65
con solo cortar el tablero de ajedrez (que, por supuesto, tiene 64 casillas) en
cuatro piezas y ensamblarlas en un rectángulo cuyos lados tienen 5 y 13 casillas
respectivamente (lo que, por supuesto, da un área de 5 x 13 = 65 casillas)
En concreto lo que tengo en la mente es esto:
Con tres cortes directos, el tablero de ajedrez ha sido diseccionado en dos
triángulos iguales y en dos trapezoides iguales. La suma de las áreas de esas
esas 4 piezas es de
64 casillas del tablero de ajedrez. Esas cuatro figuras geométricas
diseccionadas del tablero pueden ahora ensamblarse para que formen el siguiente
rectángulo:
Por favor, comparen cada una de las cuatro piezas de los dos diagramas. Los
bordes del rectángulo resultante constan de 5 y (8+5) = 13 casillas. Entonces el
área del rectángulo es de 5 x 13 = 65 casillas. Son las mismas cuatro piezas
recortadas del tablero de ajedrez, solo que dispuestas de forma diferente, por
lo que el área total debería ser la misma.
Por lo tanto parece que hemos probado que ¡64 = 65! Por supuesto, eso no es
cierto y debe haber algún error en algún sitio. ¿Puede localizarlo?
Lo que subyace como clave de la paradoja anterior son las inexactitudes al
dibujar las líneas de forman los triángulos y los trapezoides y, con ello, el
rectángulo.
Presentado con una resolución mayor, el diagrama anterior sería algo como:
Y ampliando aún más la zona central se ve con más claridad la escisión entre
las partes.
El área resaltada en rojo en los diagramas anteriores tiene la forma de un
paralelogramo muy largo. Es el responsable de la diferencia de área entre el
cuadrado y el rectángulo.
Una paradoja similar se puede construir a partir de un cuadrado de 13x13
casillas y reagrupando los dos triángulos y dos trapezoides que resultan en un
rectángulo de 21x8, tal y como se hizo antes:
De nuevo, con mayor resolución tenemos:
El área pintada en rojo es de nuevo un paralelogramo de área 1 en el que esta
vez se solapan las partes superior e inferior. Por lo tanto en este caso, no hay
escisión, sino que el rectángulo resultante tiene un área menor (=168) que el
cuadrado original
(=169) debido al solapamiento.
¿Cuál es el núcleo matemático de esta paradoja? Para explicarla en términos
generales, comenzaremos mencionando la serie de los llamados números de Fibonacci Fn.
Es una serie numérica en la que cada número Fn+1 se define como la
suma de los dos inmediatos anteriores Fn y Fn-1.
Por lo tanto:
Fn+1 = Fn + Fn-1 para todo n = 1, 2, 3, …
Los valores iniciales son F0 = 0 y F1 = 1.
Así, los primeros valores de la serie de Fibonacci son
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
La paradoja anterior de la disección parece decir que
Fn . Fn es igual a Fn+1 .
Fn-1
Hagamos unos sencillos cálculos para ver lo
que pasa:
Fn . Fn
= Fn(Fn-1 + Fn-2) = Fn .
Fn-1 + Fn . Fn-2
y
Fn+1 . Fn-1
= (Fn + Fn-1)Fn-1 = Fn .
Fn-1 + Fn-1 . Fn-1
La diferencia Dn entre
esos dos productos es:
Dn = Fn+1
. Fn-1 - Fn . Fn
= Fn-1 .
Fn-1 - Fn . Fn-2
= -Dn-1 = (-1)2
Dn-2 = ... = (-1)n-1D1 = (-1)n
puesto que D1 = F2
. F0 – F1 . F1 = 1
. 0 – 1 . 1 = (-1)1.
Por lo tanto hemos establecido la
verdad de lo que se conoce como identidad de Cassini:
Fn+1 . Fn-1–
Fn . Fn = (-1)n
La conclusión es que siempre se
pueden reorganizar un cuadrado Fn x Fn en un rectángulo Fn+1 x Fn-1
y que la diferencia entre sus áreas, es decir Fn
. Fn y Fn+1 . Fn-1, es (-1)n ,
es decir bien -1 o bien +1. En el primer caso se tiene un solapamiento entre las
piezas. En el segundo caso, hay una grieta entre ellas.
El siguiente cuadrado más grande
para el que funciona esta disección es de 21x21, que puede reorganizarse en un
rectángulo de 34x13. Pueden figurarse como hay que cortar el cuadrado de 21x21
con solo pensar en la serie de Fibonacci.
Sobre
el autor
Christian Hesse es Doctor en Filosofía por la Universidad de Harvard y
estuvo en la facultad de la Universidad de California en Berkeley hasta
1991. Desde entonces es profesor de matemáticas en la Universidad de
Stuttgart (Alemania) Posteriormente ha sido investigador visitante y
profesor invitado en diversas universidades de todo el mundo, desde la
Universidad Nacional de Australia (Canberra) a la Universidad de Concepción
(Chile) Recientemente ha escrito “Expeditionen
in die Schachwelt” (Expediciones en el mundo del ajedrez, ISBN
3-935748-14-0), una colección de unos cien ensayos que el periódico vienés
Der Standard denominó “uno de los libros sobre ajedrez mas
intelectualmente chispeantes y recomendables que se hayan escrito”.
Christian Hesse está casado, tiene una hija de seis años y un hijo de
dos. Vive en Mannheim y le gusta la respuesta de Voltaire a la queja: ”La
vida es dura (“¿Comparada con qué?”) . |
Algunos artículos anteriores para ChessBase en español:
Artículos anteriores para ChessBase en inglés: