A vueltas con el caballo

Frederic Friedel:

El recorrido del caballo

En febrero de 2003 un niño de 9 años causó sensación en el programa concurso de la televisión alemana Wetten dass..?, que correspondería aproximadamente con lo que en la televisión española se conocía como ¿Qué apostamos? y cuyo formato consiste en que un grupo de candidatos proponen una serie de pruebas que aseguran ser capaces de superar en directo, delante de las cámaras. Por ejemplo, descorchar una botella de vino usando un sacacorchos unido al tren de aterrizaje de un helicóptero.

El chico se llama Xaver Neuhäusler y procede de Bavaria. La apuesta era que podía completar un recorrido del caballo por el tablero de ajedrez, completamente de memoria, empezando por cualquier casilla.

Lo que se conoce como recorrido del caballo (en inglés, knight's tour) es una secuencia de 64 jugadas con el caballo ejecutadas de forma que sólo pase una vez por cada casilla del tablero. Se le taparon los ojos a Xaver y la casilla de inicio se le iba comunicando cada vez. Sin mucho esfuerzo el muchacho iba dictando la secuencia de 64 casillas que servían para completar el recorrido perfecto.

La reacción del público alemán antes ese logro fue arrolladora: los periódicos dieron cuenta de ello, la gente lo discutía en trenes y autobuses, en oficinas y escuelas y recibimos docenas de llamadas pidiéndonos que contásemos la historia en nuestra web.

Bueno, pues eso es lo que estamos haciendo. Y nos conduce a un pequeño dilema. ¿Deberíamos no sólo contar la historia que ha producido semejante enorme interés sobre un tema relacionado con el ajedrez? ¿Deberíamos unirnos a las especulaciones sobre el descubrimiento de un futuro campeón de ajedrez o al menos dar testimonio de un hecho prodigioso de pura genialidad? ¿O deberíamos dar una visión más profunda? ¿Incluso si quita momentos de gloria a un niño de 9 años? ¿Aplaudiría alguien si derribamos un mito que ha movido a un país? Podrán ver nuestra decisión al final del artículo. Pero primero echemos un vistazo a la mecánica del recorrido del caballo.

Antecedentes tempranos

El recorrido del caballo sobre un tablero de ajedrez, según se formuló originalmente, es una secuencia de jugadas efectuada con dicha pieza de forma que se recorra todo el tablero, visitando cada casilla sólo una vez. Las preguntas formuladas eran si el caballo podía efectivamente andar dicho camino y, en caso afirmativo, cuantos tipos de recorridos son posibles.

A la primera cuestión se respondió en el siglo IX, en un manuscrito árabe de Abu Zakariya Yahya ben Ibrahim al-Hakim. El autor menciona dos recorridos, uno de Ali C. Mani (que de otra forma hubiese sido un desconocido jugador de ajedrez) y el otro de Al-Adli ar-Rumi, que tuvo su momento más floreciente hacia 840 y se sabe que escribió un libro sobre el Shatranj, la forma de ajedrez popular por entonces.

Un recorrido cerrado es aquel en el que la casilla final está a un salto de caballo de la casilla inicial, como en el caso del segundo ejemplo anterior. El maestro de Shatranj, As-Suli, que fundamentó sus trabajos en los de Al-Adli (al que criticó), publicó los siguientes dos recorridos cerrados:

El primer ejemplo muestra una simetría axial perfecta en la mitad izquierda del tablero, mientras que el segundo se compone de dos recorridos de la mitad del tablero casi simétricos.

El primer estudio matemático amplio del recorrido del caballo fue presentado por el matemático del siglo XVIII Leonhard Euler (1707–1783) a la Academia de las Ciencias de Berlín, en 1759. La Academia había propuesto un premio de 4000 francos para la mejor memoria sobre el problema, pero la recompensa nunca se llegó a adjudicar, probablemente porque Euler era en aquella época el Director de Matemáticas de la Academia de Berlín y suponemos que como tal no podía optar al galardón.

Si quiere aprender a pelo un recorrido del caballo cerrado, escoja uno cualquiera de los anteriores diagramas de Leonhard Euler. Aprender un recorrido cerrado tiene la importante ventaja de permitirle empezar por cualquier casilla del tablero y poder completar el recorrido desde ella.

¿Cuantos recorridos hay?

El número de recorridos posibles es sorprendentemente enorme. En realidad es tan grande que su cuenta está fuera del alcance humano, incluso empelando los más rápidos ordenadores existentes en la actualidad. El problema debe abordarse de otra manera. En 1995 Martin Löbbing e Ingo Wegener proclamaron que el número total de recorridos del caballo era 33.439.123.484.294. Obtuvieron ese resultado tras hacer trabajar a 20 estaciones de trabajo Sun durante 4 meses.

En 1997 Brendan McKay usó otro método (dividiendo el tablero en dos mitades) y obtuvo como resultado 13.267.364.410.532. Para darle una idea de la magnitud de dichas cifras, un ordenador investigando los recorridos a la velocidad de un millón de recorridos por minuto necesitaría más de 25 años para calcular el número de recorridos dado por McKay.

El recorrido mágico

Si realmente quiere saltar a la fama no debería sólamente aprenderse uno de los recorridos cerrados mostrados más arriba, sino que debería lanzarse a por el recorrido mágico.

Si se numeran los saltos del caballo en un recorrido mágico resultará un cuadrado mágico. Se trata de una disposición de los números de 1 a n en una matriz, en la que cada número aparece sólo una vez y en la que la suma de las entradas en cualquier fila, clumna o diagonal es la misma.

Los recorridos completamente mágicos no son posibles en tableros de n x n casillas, con números impares y se cree que tampoco son posibles en el tablero de ajedrez de 8x8. El recorrido "más mágico" del caballo en un tablero de ajedrez es el que se ilustra en la imagen superior izquierda, en el que las diagonales principales suman 348 y 168. Combinando dos medios recorridos, como en la imagen de la derecha, se puede obtener un recorrido completamente mágico, en el que las diagonales suman 260, pero los puntos 32 y 33 no están unidos por un salto de caballo de ajedrez.

Todos los recorridos mágicos de un tablero de ajedrez normal aparecen listados aquí. Hay 131 formas geométricas distintas.

Practicando el recorrido del caballo

En el siglo XIX H. C. Warnsdorff presentó un método práctico de counstruir recorridos del caballo (Des Rösselsprungs einfachste und allgemeinste Lösung, Schmalkalden, 1823). El objetivo es simplemente evitar crear fines de trayecto, es decir, casillas en las que el caballo no pueda continuar, al tener que saltar a una casilla ya visitada. Por esa razón las posibles casillas deben examinarse antes de cada salto. Se cuenta el número de posibilidades nuevas de salto que cada una tiene y se mueve a la que tenga el número más bajo de nuevas opciones de salto.

Si quiere probar este método puede hacerlo en esta excelente página de Gunno Törnberg. Contiene una aplicación en Java que demuestra la eficacia de la regla de Warnsdorff. Al hacer clic en una casilla se muestran todos los saltos legales, así como el número de nuevas posibilidades de cada uno. Sólo tiene que escoger el valor más bajo, o uno de ellos si hay varias posibilidades con la misma cifra.

He aquí una sencilla aplicación que le permitirá practicar el recorrido del caballo en general. En el mismo lugar hay también otra aplicación que le resolverá el recorrido desde cualquier casilla inicial.

El anterior es un delicioso programilla (Un archivo ejecutable - exe - de 28 KB) que puede emplear para practicar el recorrido del caballo.

Otro programa en Delphi mayor (un ejecutable de 434 KB) le permite practicar y resolver el problema, incluyendo los recorridos cerrados. En caso de que su interés sea más amplio, el autor facilita el código fuente es su página sobre el recorrido del caballo.

¿Cuán grande es la dificultad?

Volvamos a nuestro niño de 9 años del programa de televisión. Como se mencionó al inicio de este artículo. Xaver Neuhäusler fue capaz de completar a ciegas una recorrido del caballo desde cualquier casilla inicial que le facilitase el presentador. ¿En que medida resulta prodigioso este acontecimiento? ¿Hasta qué punto debemos sentirnos impresionados?

Para comprobar el esfuerzo requerido para aprender el recorrido del caballo, le preguntamos si podía hacerlo a un huésped que nos visitó durante el fin de semana en el que se difundió el programa de televisión en cuestión. Elizabeth Pähtz es la actual campeona mundial sub-18 y estaba en Hamburgo para jugar el primer Campeonato de Alemania por Internet. "Solía ser capaz de hacer el recorrido del caballo cuando era niña", nos dijo Elli, "pero he olvidado como era" Así que le pedimos que lo aprendiese otra vez.

Empleando un recorrido del caballo de su elección, Ellicomienza a estudiarlo de memoria.

¡No es tan fácil como parece!

Con algo de esfuerzo, Elli fue capaz de dominar el recorrido en 40 minutos. Debe mencionarse que estaba en dolorosas circunstancias, debido a que le habían extraído las muelas del juicio unos días antes. Así que había algún problema con la motivación.

¿Y qué pasaría con alguien que no es un fuerte jugador de ajedrez?. Thomas Friedel, de 20 años, dejó el ajedrez de competición a los 14 años y ahora es un programador de pura sangre. ¿Podría algún algoritmo mental servir para la tarea?

Tras 12 minutos de estudio del diagrama Tommy anunció que podía hacerlo. Y ciertamente, con Elli comprobando las jugadas, completó el recorrido del caballo ayudándose con un tablero vacío.

Con alguna dificultad, Tommy fue capaz de dictar las casillas sin mirar al tablero. Sólo pudo hacerlo desde una casilla inicial, pero apostó que con medio hora de práctica lo lograría desde cualquier punto del circuito cerrado. Quizás una hora, para hacerlo con más fiabilidad, dictando las casillas con una venda en los ojos.

Perdón Xaver, por desmitificar tu gran actuación. Y perdón a todo el mundo por haber roto la magia. Sólo podemos terminar dándoles el siguientes consejo: escoja uno de los recorridos del caballo que les facilitamos anteriormente, invierta una o dos horas en aprendérselo, use uno de esos brillantes programillas para practicarlo y prepárese para su momento de gloria. Si no puede acceder a un programa de televisión, al menos es un gran truco para quedar bien en una fiesta.

Apéndices

Hay dos cosas que me gustaría añadir que surgieron una vez publicado el artículo. La primera es que el programador de Hamburgo Tim Spitzer grabó el programa Wetten dass..? y lo reprodujo lentamente. De este modo pudo reconstruir el recorrido del caballo cerrado que usó Xaver Neuhäusler. Aquí lo tienen:

Los recorridos del caballo de George Koltanowski

El segundo aspecto lo sometió a mi consideración un viejo amigo al que no había visto desde hace muchos años. Tras leer mi artículo me escribió para recordarme el más destacable recorrido del caballo del que ambos hayamos sido testigos. Debo admitir con vergüenza que se me había pasado completamente cuando traté el tema de la joven estrella alemana de la televisión.

Sucedió hace muchos años, en un club de ajedrez de Estados Unidos, donde un maestro a la ciega estaba dando una demostración de sus extraordinarias habilidades. En un momento dado pidió un ayudante entre el público y yo fui empujado y conminado por mis amigos a subir al escenario. Una vez allí el maestro me dio un taco de notas adhesivas y me pidió que escribiese nombres, palabras y números dictados de forma aleatoria por el público. Cada nota se fue colocando en un gran tablero mural, empezando por la casilla a8, siguiendo secuencialmente hasta h1.

El público facilitó una gran variedad de palabras: nombres de ciudades, familiares, números de teléfono, expresiones abstractas. Era algo como: Dayton, Margaret-Lee Farrow, orgullo antes de caer, 212-783-4529, Skippy el perro de mi papá. Mientras sucedía todo esto, el maestro estaba sentado en su silla, escuchando al público, charlando con ellos. Estaba completamente relajado y no hacía ningún esfuerzo visible por memorizar las notas.

Una vez que se cubrieron todas las casillas, se vendaron los ojos del maestro. Entonces pidió que alguien del público dijese las coordenadas de una casilla del tablero. Empezando por ella, comenzó a repetir las palabras y los números, mientras yo iba retirando las notas del tablero mural. El orden de las notas resultó ser un perfecto recorrido del caballo. Creo que sólo se equivocó ligeramente en una o dos expresiones, del tipo Margaret-Mae Farrow en vez de Margaret-Lee. Acertó todos los números perfectamente.

Ahora es una hazaña verdaderamente destacable. Todos quedamos muy impresionados ¡Y no menos por el hecho de que el maestro estaba próximo a los 90 años! Se trataba de George Koltanowski, uno de los más grandes mentalistas que han existido.

George Koltanowski, 1903-2000, copyright (C) San Francisco Chronicle 2000

George Koltanowski nació en Amberes el 17 de septiembre de 1903. Desarrolló sus prodigiosas habilidades memorísticas estudiando juegos de memoria cuando era niño y estuvo muy enfermo en cama durante un par de años. A los 14 empezó a jugar al ajedrez y a los 21 jugó y entabló con Siegbert Tarrasch en el torneo de Merano de 1924. A principios de los años treinta era el mejor jugador belga, venciendo a Akiba Rubinstein en Amberes en 1931 y entablando con Alekhine en Hastings 1936/37. Le fue reconocido el título de MI en 1950 y en 1988 la FIDE le concedió el título honorífico de Gran Maestro.

Koltanowsky logró varios records en otra área del ajedrez. Durante siglos, los más grandes maestros del mundo pusieron a prueba sus mentes jugando a la ciega. Durante mucho tiempo se creyó que una si,multánea de tres partidas a la ciega era el límite de la capacidad humana. Entonces, en 1933, Alexander Alekhine jugó con éxito 32 partidas simultáneas a la ciega. Posteriormente otros grandes maestros hicieron polvo el record de Alekhine. Koltanowski estableció el actual record, jugando 56 partidas a la ciega, en San Francisco en 1960. Jugó las partidas de forma secuencial, a 10 segundos por jugada, durante 9 horas, puntuando +50 =6. También dio enormes sesiones de partidas simultáneas con el tablero a la vista, jugando 271 partidas en 1949 y 110 en 1955. Algunas de ellas se describen en el artículo titulado The Einstein Factor (El factor Einstein), que es de muy fácil lectura y explica en términos generales porqué todo el mundo debería jugar al ajedrez.

Cuando los Nazis entraron en Bélgica durante la Segunda Guerra Mundial, varios de sus familiares murieron en el Holocausto. Koltanowski estaba de gira ajedrecística en América Central y se le permitió emigrar a Estados Unidos, principalmente porque un consul en Cuba aficionado al ajedrez quedó encandilado por una de sus demostraciones. Empezó a escribir una columna para el San Francisco Chronicle. Había completado las 19.000 entregas cuando murió a resultas de complicaciones tras un fallo cardíaco, en febrero de 2000, a los 96 años.

Tienen una completa necrológica en los archivos del San Francisco Chronicle: Grandmaster Of Chess, George Koltanowski.

Frederic Friedel