De paradojas matemáticas y ajedrez

El ajedrez es más que un juego

Por Manuel López Michelone

Sé que, por algún motivo no fácil de explicar, quienes juegan al ajedrez se orientan también a actividades como las matemáticas o la música. Desde luego, no todo aquel que juegue al ajedrez necesariamente se siente fascinado por la música o bien tiene una capacidad extraordinaria para hacer matemáticas. Lo que parece ser obvio es que estas tres disciplinas tienen que ver entre sí y que de alguna manera comparten un factor común. Tal vez es la estructura de la música o de las matemáticas, la que se une a la del ajedrez. No lo sé, pero es un hecho que hay muchísimos pasatiempos basados en el tablero, en donde las matemáticas emergen de manera majestuosa para encontrar las respuestas a curiosas interrogantes.

Encontré en un simpático librito, “Mathematics and Chess”, de Miodrag Petković, Editorial Dover, un conjunto extraordinario de problemas matemáticos, asociados al juego ciencia. Desde luego que algunos de ellos son muy conocidos (el problema de las 8 damas, del cual ya hablamos hace tiempo en este mismo sitio del mismo). Otros no lo son tanto, pero en cualquiera de los casos, las dificultades que algunos de los acertijos propuestos en el citado libro, requieren en ocasiones de algo más que sumar y restar. Por ejemplo, a alguien alguna vez se le ocurrió que podía cortar un tablero de ajedrez como indica el diagrama 1:

Diagrama 1

y pegarlo como se ve en el diagrama número 2:

Diagrama 2

De pronto encontró que le sobraba una casilla, es decir, se demostró geométricamente que 64 = 65. Esta paradoja geométrica tiene como su referencia más temprana en Leipzig 1868, en la publicación Zeitschrift für Mathematik und Physik. ¿Puede usted explicar dónde está el error? Porque es claro que en algún lado hay un truco muy sucio, pues 64 no es igual a 65 nunca.

Pero hay otros interesantes acertijos. Por ejemplo, hay uno muy famoso, que se refiere a mover un caballo por todo el tablero de ajedrez, el cual debe colocarse una sola vez en cada casilla y completar en 64 movimientos los 64 escaques. Si eso ya no era suficiente problema, a algún matemático se le ocurrió que para hacerlo aún más difícil, había que conseguir una solución que numerando los pasos (es decir, cada casilla recibe un número del 1 al 64), el trayecto del caballo se completara y además, se formara un cuadrado semi-mágico (en donde cada columna y cada renglón suman el mismo número, sin considerar las sumas de las dos grandes diagonales). Este problema, llamado originalmente como el del caballo reentrante, se formuló hace muchos siglos. Los árabes lo mencionan desde el siglo quinto después de Cristo. Grandes matemáticos como Euler, Legendre y De Moivre se interesaron por este tipo de problemas. Se sabe que las primeras soluciones se encontraron a principios del siglo 18 por De Montmort y De Moivre. En una carta al matemático Goldbach (16 de abril de 1757), Euler dio su solución al problema del caballo reentrante. En 1823 H.C. Warnsdorff dio tal vez la solución más elegante, pues su método no sólo funciona con tableros de 8 x 8 sino con tableros de n x n. Sin embargo, no se sabe aún cómo calcular cuántos caminos del caballo existen (para un tablero de ajedrez normal), pero de acuerdo al matemático Kraitchik, el número es mayor que 122 millones de soluciones. Finalmente, cabe destacar que cualquier casilla puede ser la salida inicial del caballo, no necesita ser una esquina o un escaque en particular.

Estos dos problemas son simplemente una muestra de que el ajedrez es algo más que un juego de mesa, tal y como lo hemos dicho al principio de este artículo.